函数是什么？
函数显示输入与输出的关系。
就好像有输入和输出的机器。
输出和输入是有关联的。
f(x)
"f(x) = ... " 是一贯的标准函数记法。
但是也有其他的方法去描述函数。
输入、关系、输出
有很多方法去描述函数，但所有方法都有这三个主要部分：
输入
关系
输出
例子："乘以 2" 是个非常简单的函数。
三个部分是：
输入
关系
输出
0
× 2
0
1
× 2
2
7
× 2
14
10
× 2
20
……
……
……
如果输入是 50，输出是多少？
函数例子
x2（平方）是个函数
x3+1 也是个函数
正弦、余弦和正切是三角学里的函数
还有很多！
这里我们不谈个别函数 ……
…… 我们来看函数的一般概念。
名字
首先，函数要有个名字。
最常见的名称是 "f"，但也可以用其他名字，例如 "g" …… 或甚至 "果酱"。
这里我们用 "f"：
我们说 "f x 等于 x 平方"
我们把函数的输入值放在函数名字后面的括号（）中间：
所以 f(x) 的意思是函数叫 "f"，而 "x" 是输入值
函数对输入值进行的运作：
f(x) = x2 显示函数 "f" 取输入值 "x" 的平方。
例子：f(x) = x2：
输入是 4
输出就是 16.
我们这样写： f(4) = 16。
"x" 只是个位置标志符！
"x" 只不过显示表输入值。
其实用什么符号来代表都可以！
所以这个函数：
f(x) = 1 - x + x2
和这些函数是一样的：
f(q) = 1 - q + q2
h(A) = 1 - A + A2
w(θ) = 1 - θ + θ2
自变量（x、q、A等）只不过显示我们需要把输入值放在哪里：
f(2) = 1 - 2 + 22 = 3
函数有时没有名字
有时候函数没有名字，例如：
y = x2
但仍然有：
输入（x）
关系（取平方）
输出（y）
关系
上面我们说函数像个机器。但函数没有齿轮或传动带，也不会破坏输入！
函数显示输入与输出的关系。
"f(4) = 16" 就是说 4 和 16 是有关系的：4 → 16，而这个关系就是 f。
例子：这棵树每年长高 20厘米，所以树的高度与它年龄的关系可以用函数 h 来显示：
h(年龄) = 年龄 × 20
所以，如果年龄是 10年，高度就是：
h(10) = 10 × 20 = 200厘米
以下是这个函数的一些数值：
年龄
h(年龄) = age × 20
0
0
1
20
3.2
64
15
300
……
……
函数处理什么？
最常见的是 "数字"，但是 ……
…… 什么数字？
例如，在树的高度函数 h(年龄) = 年龄×20 里，负值的年龄是毫无意义的。
…… 函数的输入也可以是字母（"A"→"B"），或身份代码（"A6309"→"及格"），或其他特别的东西。
所以我们要用一个比较强大的综合工具来显示函数，这就是集合：
这是一些例子：
偶数集：{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
衣服集：{"帽子","衬衫",...}
质数集：{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
小于十的三的倍数：{3, 6, 9}
集里面的每个东西（例如 "4" 或 "帽子"）叫成员或元素。
所以，函数输入一个集的元素来输出另一个集的元素。
函数是特别的
函数有特别的规则：
一定要可以使用于所有可能的输入
每一个输入值只有一个关系
这些规则可以用一个定义来表达：
函数的正式定义
函数把一个集里的每一个元素联系到
另一个集里一个独一的值
（可能是同一个集）。
两个重点！
一、
"…… 每一个元素 ……" 的意思是 X 里的所有元素都与 Y 里的某一个元素有关系。
我们说函数覆盖 X （关系囊括所有元素）。
（但 Y 里的一些元素可能没有和 X 的元素有关系，这是允许的。）
二、
"…… 独一的值 ……" 的意思是函数是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。
所以 "f(2) = 7 或 9" 是不行的！
注意："一对多关系" 是不允许的， "多对一关系" 就可以：
（一对多）
（多对一）
不允许
允许
如果一个关系不符合这两个规则，它就不是函数 …… 它还是个关系，但不是个函数。
例子：x → x2
可以写成列表：
X: x
Y: x2
3
9
1
1
0
0
4
16
-4
16
……
……
这是个函数，因为：
X 的每个元素都和 Y 有关系联
X 没有元素有多于一个关系
所以这个关系符合函数的两个规则。
（注意 4 和 -4 都和 16 有关系，这是允许的。）
例子：这个关系不是函数：
它是个关系，但不是个函数。原因是：
X 里的 "3" 和 Y 没有关系
X 里的 "4" 和 Y 没有关系
X 里的 "5" 和 Y 里多于一个值有关系
（但 Y 里的 "6" 没有关系是允许的）
垂直线测试
在图上，单值的意思就是没有垂直线有多于一个交叉点。
如果有多于一个交叉点，图还是曲线，但不是函数。
有些函数有更严格的规则，去单射、满射与双射了解更多
无穷多
上面的例子只有几个数值，但函数通常是建立在有无穷多元素的集合上的。
例子：y = x3
输入集 "X" 是所有 实数
输出集 "Y" 也是所有实数
我们不能显示所有的值，所以以下只是一些例子：
X: x
Y: x3
-2
-8
-0.1
-0.001
0
0
1.1
1.331
3
27
依此类推……
依此类推……
定义域、陪域与值域
在上面的例子里
"X" 集的名称是定义域，
"Y" 集的名称是 陪域，
Y 集里与 X 有关系的元素（函数的实际输出值）的名称是值域。
你可以去阅读关于定义域、陪域与值域的特定页面来了解更多。
很多名称！
函数在数学里已经有很长的历史，也有很多不同的名称和表达方法。
以下是一些你应该知道的名词：
例子：z = 2u3：
"u" 可以被称为 "自变量"
"z" 可以被称为 "因变量"（它因着自变量改变）
例子：f(4) = 16：
我们可以叫 "4" 为 "参数"
我们可以叫 "16" 为 "函数的值"
序偶
这是对函数的另一个看法：
把函数的输入和输出为一个 "序偶"，例如 (4,16)。
叫序偶，因为输入一定在前面，输出在后面：
(输入，输出）
像这样：
（x，f(x)）
例子：
（4，16） 的意思是函数的输入是 "4"，输出是 "16"
序偶集
因此，函数可以被定义为序偶的集 ：
例子：{(2,4), (3,5), (7,3)} 是个这样的函数：
"2 和 4有关系"、"3 和 5 有关系"、"7 和 3 有关系"。
也注意：
定义域是 {2,3,7} （输入值）
值域是 {4,5,3} （输出值）
但函数一定要是单值的，所以我们也要说
"若集里有 (a, b) 和 (a, c)，则 b 等于 c"
也即是说 "a" 值的输入不能有多于一个结果。
例子：{(2,4), (2,5), (7,3)} 不是函数，因为 {2,4} 和 {2,5} 代表 2 与 4 和 5 都有关系。
就是说，它不是函数，因为它不是单值的
序偶的好处
我们可以把序偶画成图 ……
…… 因为序偶也是坐标！
所以坐标的集也是函数（如果它们符合上面的规则）
函数可以有不同的部分
不同的函数输入值可以有完全不同的关系
例子：有两个部分的函数：
若 x 小于 0，函数的值是 5，
若 x 等于或大于 0，函数的值是 x2
以下使一些数值例子：
x
y
-3
5
-1
5
0
0
2
4
4
16
...
...
去分段函数了解更多。
显与隐
最后课题："显" 与 "隐"。
"显"函数是可以用 y=f(x) 来表示的函数，例如：
y = x3 - 3
如果知道 x 就可以求 y
这是标准的 y = f(x) 格式。
"隐"函数是不用这个格式显示的函数，例如：
x2 - 3xy + y3 = 0
已知 x，怎样求 y？
可能很困难（甚至不可能！）从 x 求 y。
"隐" 的意思是关系是 "隐"蔽的。
画图
函数绘图器只能为显函数画图，
方程绘图器可以为显函数及隐函数画图，但要用长一点的时间，并且有时会犯错）。
结论
函数显示输入与输出的关系
函数把一个集（定义域的元素联系到另一个集（陪域）的元素。
所有的输出值（陪域里实际与定义域有关系的元素）的集叫值域
特别关系：
包含定义域里每个元素，
任何输入值只有一个输出值（不能是一个或另一个输出值）
一个输入值和它的输出值一起就叫做序偶
所以函数也可以被视为一个序偶的集
单射、满射与双射 定义域、值域和陪域 集合入门
集合索引